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Or, on peut toujours supposer $F$ donné et constant pour toutes les lignes du second ordre circonscrites au quadrilatère ; auquel cas $A,B,D,E$ seront aussi donnés et constans ; de sorte que ces courbes ne différeront les unes des autres qu’à raison de l’indétermination du seul coefficient $C.$

Observons présentement que, pour que le quadrilatère soit convexe, il est nécessaire que $b$ et $b'$ soient de mêmes signes ou de signes contraires, en même temps que $a$ et $a'$ ; c’est-à-dire, en d’autres termes, qu’il faut que $aa'$ et $bb'$ soient tous deux de même signe, ce qui (3) donnera aussi le même signe à $A$ et $B,$ et rendra ainsi $AB$ positif. En conséquence, on pourra, et même d’une infinité de manières différentes, choisir l’indéterminée $C,$ de telle sorte que $C^{2}-AB$ soit négatif, ou que la courbe (1) soit une ellipse. On pourra, en outre, choisir $C$ de manière à rendre cette quantité nulle, ou à rendre la courbe une parabole, et pour cela il faudra poser

$C=\pm {\sqrt {AB}}\,;\qquad$(4)

donc 1.^o à un même quadrilatère convexe quelconque, on peut circonscrire uns infinité d’ellipses et seulement deux paraboles.

En adoptant la double valeur (4) de $C,$ l’équation (1) prend la forme

$\left(x{\sqrt {A}}\pm y{\sqrt {B}}\right)^{2}+2Dx+2Ey+F=0,\qquad$(5)

qui, combinée avec la double équation

$x{\sqrt {A}}\pm y{\sqrt {B}}=0,\qquad$(6)

se réduit simplement à

$2Dx+2Ey+F=0\,;\qquad$(7)

ce qui montre que la double droite (6) ne coupe la double courbe (5)