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à M. J. Steiner qui l’a publié dans la première livraison du deuxième volume du Journal allemand de M. Crelle. Mais M. Steiner n’a point démontré la totalité des propositions qui lui appartiennent, et n’a démontré les autres qu’en s’appuyant sur celles qui ne lui appartiennent pas, et qu’il a supposé généralement connues. Cependant, comme ces dernières mêmes ne se trouvent point dans la plupart des traités sur la matière, nous croyons faire une chose agréable au lecteur en démontrant ici le théorème dans son entier, sans rien emprunter de quelque ouvrage que ce puisse être.

Démonstration. Soient pris pour axes des coordonnées deux côtés opposés quelconques du quadrilatère ; soient $a,a'$ les distances de l’origine aux deux sommets situés sur l’axe des $x$, et $b,b'$ les distances de la même origine aux deux sommets situées sur l’axe des $y$ ; l’équation de la ligne du second ordre sera de la forme

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0.\qquad$(1)

Les segmens déterminés par cette courbe sur les axes des $x$ et des $y$, à partir de l’origine, seront donnés respectivement par les deux équations

$Ax^{2}+2Dx+F=0.\quad By^{2}+2Ey+F=0\,;\qquad$(2)

d’où il suit qu’on devra avoir

${\begin{array}{ll}a+a'=-{\frac {2D}{A}},&\qquad aa'={\frac {F}{A}},\\\\b+b'=-{\frac {2E}{B}},&\qquad bb'={\frac {F}{B}}.\end{array}}$

d’où

$\left.{\begin{array}{ll}A={\frac {F}{aa'}},&\qquad D=-{\frac {a+a'}{2aa'}}F,\\\\B={\frac {F}{bb'}},&\qquad E=-{\frac {b+b'}{2bb'}}F.\end{array}}\right\}\quad$(3)