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Soient une surface du m^ième ordre et une droite, données respectivement par les équations

M=0,\quad x=az,\quad y=bz,

dont les différentielles respectives sont

{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}=a,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}=b.

En éliminant entre ces différentielles ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}$ , l’équation résultante

a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\qquad (\alpha \alpha )

du (m-1)^ième degré seulement, sera celle d’une surface coupant la proposée suivant les lignes par tous les points desquelles on peut lui mener des tangentes parallèles à la droite donnée ; on a donc le théorème suivant que l’on pourrait aussi déduire du Théorème II, comme l’a fait M. Vallès, à l’endroit cité.

THÉORÈME V. Les lignes de contact d’une surface du m^ième ordre avec la surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée quelconque, appartiennent toutes à une seule et même surface du (m-1)^ième ordre au plus.

On peut aussi satisfaire à l’équation $(\alpha \alpha ),$ quels que soient $a$ et $b,$ en posant à la fois

{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0\,;

équations qui appartiennent à trois surfaces du (m-1)^ième ordre se coupant en $(m-1)^{3}$ points au plus ; ce qui donne cet autre théorème :

THÉORÈME VI. Les surfaces du (m-1)^ième ordre auxquelles appartiennent les diverses séries des lignes de contact d’une même