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$M=0,\qquad y=ax.$

dont les différentielles respectives sont

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=a.$

En éliminant ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ entre ces différentielles, l’équation résultante

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad (\alpha )$

du (m-1)^ième degré seulement, sera celle d’une courbe coupant la proposée en tous ceux de ses points par lesquels on peut lui mener des tangentes parallèles à la droite donnée ; on a donc le théorème suivant que l’on pourrait aussi déduire du Théorème I, comme l’a fait M. Vallès, à l’endroit cité.

THÉORÈME III. Les points de contact d’une ligne du m^ième ordre avec les tangentes menées à cette courbe, parallèlement à une droite donnée quelconque, appartiennent tous à une seule et même ligne du (m-1)^ième ordre au plus.

On peut aussi satisfaire à l’équation $(\alpha ),$ quel que soit $a$, en posant, à la fois

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0\,;$

équations qui appartiennent à deux lignes du (m-1)^ième ordre, se coupant en $(m-1)^{2}$ points au plus ; ce qui donne cet autre théorème :

THÉORÈME IV. Les lignes du m^ième ordres auxquelles appartiennent les diverses séries de points de contact d’une même ligne du m^ième ordre, avec des systèmes de tangentes à cette courbe parallèles à des droites arbitraires, passent toutes par les mêmes $(m-1)^{2}$ points fixes.