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Les différentielles de ces deux équations sont

$t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u=0,$

${\frac {\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}(y\operatorname {d} t-x\operatorname {d} u)-(yt-xu)\left\{(x-t)\operatorname {d} t+(y-u)\operatorname {d} u\right\}}{\lambda \left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}=$

${\frac {\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}(y'\operatorname {d} t-x'\operatorname {d} u)-(y't-x'u)\left\{(x'-t)\operatorname {d} t+(y'-u)\operatorname {d} u\right\}}{\lambda '\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

Multipliant la dernière par $u,$ remplaçant à mesure $u\operatorname {d} u$ par sa valeur $-t\operatorname {d} t,$ que donne la première, et divisant enfin par $\operatorname {d} t,$ il viendra

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {(xt+yu)\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}-(yt-xu)^{2}}{\lambda \left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}\\\\=&{\frac {(x't+y'u)\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}-(y't-x'u)^{2}}{\lambda '\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

de sorte que l’équation en $x$ et $y$ de la caustique cherchée sera le résultat de l’élimination de $t$ et $u$ entre les équations (1), (2), (3).

Il suit de là que, pour un point d’incidence donné $(t,u),$ l’équation (3) est l’équation en $x$ et $y$ d’une courbe qui coupe le rayon réfracté en son point de contact avec la caustique. Or, lorsqu’un point est ainsi donné par l’intersection de deux lignes dont on a les équations, il l’est également par les intersections de toutes autres lignes dont les équations seraient des combinaisons quelconques de celles-là ; d’où il suit que, dans la recherche qui nous occupe, nous pourrons remplacer l’une ou l’autre des équations (2) et (3) par de semblables combinaisons.

Mais puisque, pour parvenir à notre but, il faut éliminer $t$ et $u$ entre elles, au moyen de l’équation (1), nous devons princi-