Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/93

(10)$\quad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {pour\ } &{\frac {1+x{\sqrt {-1}}}{1-x{\sqrt {-1}}}}=h+k{\sqrt {-1}},\\\\&x={\frac {2\rho \operatorname {Cos} .\omega +\left(1-\rho ^{2}\right){\sqrt {-1}}}{1+2\rho \operatorname {Sin} .\omega +\rho ^{2}}}\,;\\\\\mathrm {pour\ } &\operatorname {l} \left(r-x{\sqrt {-1}}\right)=h+k{\sqrt {-1}},\\&x=-e^{h}\operatorname {Sin} .k+\left(e^{h}\operatorname {Cos} .k-r\right){\sqrt {-1}}\,;\\\mathrm {pour\ } &\operatorname {l} \left(1+{\frac {s}{x}}{\sqrt {-1}}\right)=h+k{\sqrt {-1}},\\\\&x={\frac {s}{e^{h}\operatorname {Sin} .k-\left(e^{h}\operatorname {Cos} .k-1\right){\sqrt {-1}}}}\,;\\\\\mathrm {pour\ } &\operatorname {l} \left[r\operatorname {Sin} .\theta +\left(r\operatorname {Cos} .\theta -x\right){\sqrt {-1}}\right]=h+k{\sqrt {-1}},\\&x=-\left(e^{h}\operatorname {Sin} .k-r\operatorname {Cos} .\theta \right)\\&\qquad \qquad +\left(e^{h}\operatorname {Cos} .k-r\operatorname {Sin} .\theta \right){\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}\right.$

et ainsi du reste.

Si, au contraire, on prenait pour $u,v,w,\ldots$ quelques-unes des fonctions

(11)$\quad \left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .bx,\quad \operatorname {Cos} .bx,\quad e^{bx},\quad e^{bx{\sqrt {-1}}},\quad e^{\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)x},\\\\&\operatorname {l} \left(1+re^{bx{\sqrt {-1}}}\right),\quad \operatorname {l} \left(1-re^{bx{\sqrt {-1}}}\right),\ldots \end{aligned}}\right\}\,;$

$a,b$ désignant des quantités quelconques, et $r$ un nombre inférieur à l’unité ; chacune des équations (7) aurait une infinité de racines. Ainsi, par exemple, en représentant par $n$ un nombre entier quelconque, on trouverait