Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/92

(9)$\qquad \rho =\left(h^{2}+k^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\qquad \omega =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .{\frac {h}{k}}\right)\,;$

et l’on trouvera

On peut encore considérer la notation

$\left(u+v{\sqrt {-1}}\right)^{\lambda +\mu {\sqrt {-1}}},$

dans laquelle $\lambda$ et $\mu$ désignent des quantités quelconques, comme représentant une fonction unique et complètement déterminée, toutes les fois que $u$ reçoit une valeur positive. En effet, comme dans cette hypothèse, on aura généralement

$u+v{\sqrt {-1}}=e^{\operatorname {l} \left(u+v{\sqrt {-1}}\right)},$

on sera conduit naturellement à la formule

$\left(u+v{\sqrt {-1}}\right)^{\lambda +\mu {\sqrt {-1}}}=e^{\left(\lambda +\mu {\sqrt {-1}}\right)\operatorname {l} \left(u+v{\sqrt {-1}}\right)},$

qui suffira pour fixer complètement le sens de l’expression imaginaire comprise dans son premier membre. Si l’on suppose, en particulier, $u=0,$ on trouvera pour des valeurs positives de $v$,

$\left(v{\sqrt {-1}}\right)^{\lambda +\mu {\sqrt {-1}}}=\left\{\operatorname {Cos} .\left[{\frac {\pi }{2}}\lambda +\mu \operatorname {l} (v)\right]+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\left[{\frac {\pi }{2}}\lambda +\mu \operatorname {l} (v)\right]\right\}.e^{\lambda \operatorname {l} (v)-{\frac {\pi }{2}}\mu }\,;$

et, pour des valeurs négatives de $v$,

$\left(v{\sqrt {-1}}\right)^{\lambda +\mu {\sqrt {-1}}}=\left\{\operatorname {Cos} .\left[{\frac {\pi }{2}}\lambda -\mu \operatorname {l} (-v)\right]-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\left[{\frac {\pi }{2}}\lambda -\mu \operatorname {l} (-v)\right]\right\}.e^{\lambda \operatorname {l} (-v)+{\frac {\pi }{2}}\mu }.$