et telle sera l’équation qu’il faudra joindre aux équations générales (1) et (2), pour obtenir la solution du problème particulier qui nous occupe.
En portant dans cette équation la valeur de
donnée par l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle z={\frac {b}{b+a{\sqrt {1+p^{2}}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b35fcd379b95c41acc6d13464ac7d005086c06c)
(4)
Portant ensuite cette dernière valeur de
dans l’équation (2), nous aurons pour l’équation différentielle du second ordre de la courbe cherchée
![{\displaystyle a\left(b+a{\sqrt {1+p^{2}}}\right){\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=b{\sqrt {1+p^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5644906c58889a6cd2c81106dddfcdd1fbc3afb8)
(5)
Si nous pouvons obtenir deux intégrales premières de cette équation, l’élimination de
entre elles conduira à l’équation primitive.
On en tire d’abord
![{\displaystyle b\operatorname {d} x=a\left(b.{\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1+p^{2}}}}+a\operatorname {d} p\right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151192b97d61f5b91be7fe9e21f0897c75c495ba)
(6)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle bx=a\left\{ap+b\operatorname {Log} .\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a0fc833276602118c235cf09ad4d73bb92073f)
ou encore
![{\displaystyle e^{{\frac {bx}{a^{2}}}-p}=\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)^{\frac {b}{a}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42050b1ea3bcd8d9c170b31220efd850ed745c6c)
(7)
intégrale à laquelle ¥*ous n’ajoutons point de constante, parce que
et
doivent être nuls en même temps.
En multipliant la même équation (6) par
et mettant ensuite dans son premier membre
pour
elle devient
![{\displaystyle b\operatorname {d} y=a\left(b.{\frac {p\operatorname {d} p}{\sqrt {1+p^{2}}}}+ap\operatorname {d} p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39f6ed35b14b904b4216379da20d0ed2394198)
ce qui donne en intégrant, et observant que
et
doivent être nuls en même temps