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${\frac {y}{b}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}=0.$

Ici encore nous n’ajoutons point de constante, pour les mêmes raisons que ci-dessus.

On peut ensuite écrire

$e^{\frac {y}{b}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}=1\,;\qquad$(7)

et telle est finalement l’équation de la courbe cherchée.

Géométriquement parlant, cette courbe est composée d’une infinité de parties, alternativement situées au-dessus et au-dessous de l’axe des $x$, auquel elles sont toutes tangentes, et toutes comprises entre des asymptotes équidistantes, perpendiculaires à cet axe. Mais il est clair que, pour la question qui nous occupe, on ne doit considérer que celle de ces parties qui est symétriquement partagée par l’axe des $y$, et comprise entre deux asymptotes données par l’équation $x=\pm {\frac {\varpi b}{2}}.$

En mettant la valeur (6) de $p$ dans la formule (4) on a

$z={\frac {a}{b}}\operatorname {Sec} .{\frac {x}{b}},\qquad$(8)

au moyen de quoi la formule (1) devient

$t=a\operatorname {Sec} .{\frac {x}{b}}=0\,;\qquad$(9)

telles sont donc la densité et la tension de la chaînette en un quelconque $(x,y)$ de ses points.

De la même formule (6) on tire

$\operatorname {d} s=\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}}}\,;\qquad$(10)

d’où on tire en intégrant