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che conduit à des calculs extrêmement prolixes, nous procéderons d’une manière inverse ; c’est-à-dire, qu’avant de passer au problème général, nous nous occuperons d’abord des deux cas particuliers les plus simples. Nous obtiendrons de cette manière des formules moins compliquées et plus élégantes.

I. Occupons-nous d’abord de la recherche de l’équation de la caustique pour le cas où le point lumineux est un de ceux de la circonférence du cercle réfléchissant.

Soit $r$ le rayon de ce cercle. Afin de simplifier nos calculs autant qu’il est possible, prenons son centre pour origine des coordonnées rectangulaires, et faisons passer l’axe des $x$ par le point rayonnant, que nous supposons placé du côté des $x$ négatives. Soit $(x',y')$ un point incident quelconque, et $(x,y)$ le point correspondant de la caustique cherchée, c’est-à-dire, le point où elle est touchée par le rayon réfléchi. On aura d’abord

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2}.\qquad$(1)

L’angle que fait le rayon incident avec la normale au cercle au point $(x',y')$ a pour tangente tabulaire ${\frac {y'}{r+x'}}.$

Si nous désignons par $p$ la tangente tabulaire de l’angle que fait le rayon réfléchi avec l’axe des $x$ ; l’angle de ce même rayon avec la normale au point $(x',y')$ aura pour tangente tabulaire

${\frac {p-{\frac {y'}{x'}}}{1+p{\frac {y'}{x'}}}},\quad$ou$\quad {\frac {px'-y'}{x'+py'}}\,;$

et, comme, d’après les lois de l’optique, cet angle doit être égal au premier, on aura

${\frac {px'-y'}{x'+py'}}={\frac {y'}{r+x'}},$

d’où on tire, en ayant égard à l’équation (1)