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$b^{2}x'x+a^{2}y'y=a^{2}b^{2},\qquad$(2)

avec la condition

$b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(3)

L’équation de la perpendiculaire abaissée du centre sur la direction de cette tangente sera donc

$b^{2}x'y-a^{2}y'x=0\,;\qquad$(4)

mais l’équation de l’ordonnée du point de contact est

$x-x'=0\,;$(5)

on obtiendra donc l’équation du lieu de l’intersection de cette perpendiculaire et de cette ordonnée en éliminant les deux paramètres $x',y'$ entre les équations (3), (4), (5).

Les deux dernières donnent

$x'=x,\qquad y'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}y\,;$

valeurs qui, substituées dans la première, donnent

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=a^{4},\qquad$(6)

ou bien

$\left({\frac {a^{2}}{b}}\right)^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=\left({\frac {a^{2}}{b}}\right)^{2}a^{2}\,;$

équation d’une nouvelle ellipse qui a le diamètre principal $2a$ commua avec la première, et dont l’autre diamètre $2{\frac {a^{2}}{b}}$ est une troisième proportionnelle aux diamètres $2b$ et $2a$ de la première. On a donc ce théorème, qui est précisément celui qu’il s’agissait de démontrer :

THÉORÈME. Si deux ellipses ont un diamètre principal commun, moyen proportionnel entre leurs diamètres principaux non communs, toute sécante commune, perpendiculaire au diamètre commun, sera coupée par la perpendiculaire conduite, par le centre com-