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${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )}},$

et

$s={\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha }}\int {\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}.\operatorname {d} v\,;$

arc qu’il faudra toujours prendre positivement, puisqu’il ne s’agit ici que de sa valeur absolue.

On a aussi

$s={\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}+(z-v)^{2}}}=(z-v){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}$

$={\frac {z-v}{\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}\,;$

et cet arc, comme le précédent, devra aussi être pris positivement. Mais c’est ce qu’on ne ferait pas si, comme dans mon premier calcul, on laissait subsister $+(z-v){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}$. En effet, si $s$ augmente en même temps que $v,\ {\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}$ sera positif ; mais alors $z$ sera moindre que $v$ et $(z-v){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}$ sera négatif ; il faudra donc, dans ce cas, pour prendre cette quantité positivement, la faire précéder du signe moins. Si, au contraire, $v$ diminue quand $s$ augmente, ${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} v}}$ sera négatif et $z-v$ positif ; il faudra donc encore le signe moins dans ce cas ; de sorte que notre deuxième équation sera réellement

$z=v-{\frac {\int {\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}.\operatorname {d} v}{\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}},\qquad$(9)

Les équations (8) et (9) sont donc, après la substitution de la valeur de $v$ tirée de l’équation (7), celles de la développante cherchée.

Si présentement on donne les deux équations de la développante,

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Correction (1^e ligne, sous le radical) : « $\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )$ » → « $\operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )$ » (coquille : cf égalité suivante)