![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62a9fe5773aa87ba922506502dff21b84b77a03)
aura aussi le même signe. Posant
![{\displaystyle \nu =\operatorname {F} (\alpha )=\left(C-{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}\right)(1-\alpha )^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546a47755435aed7c75a7ea9849ceed259d7146e)
sera une constante qu’on déterminera de manière à donner les limites cherchées. Prenant ensuite, pour les deux limites
et
, en sorte que
on aura
puisque le premier terme
de
s’évanouit quand
et qu’en vertu de l’équation (B) on a pour le second
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(1-\alpha )^{n}=1.2.3\ldots (n-1)(U-u')-2.3.4\ldots (n-1){\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}(1-\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53a3ebe90d9461a75a850e42a52cf66253989dd)
![{\displaystyle -3.4.5\ldots (n-1){\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}(1-\alpha )-\ldots -{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(1-\alpha )^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d1936104c57b8e8c06bd6c98e30e873308197e)
qui s’évanouit aussi, pour la même valeur de
, parce qu’elle donne
et que les quantités
ne peuvent, en général, devenir infinies pour
On a ensuite, pour
,
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)=\operatorname {F} (0)=C-{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e46e1f1628d91b0ac721da406acd99f06d15478)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a)}{b-a}}={\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8744be8e22e0b1f2a24fc1487331e562a79d85)
d’ailleurs, d’après les équations (A) et (C),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} \alpha }}=n\left({\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-C\right)(1-\alpha )^{n-1}-{\frac {\operatorname {d} ^{n}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}(1-\alpha )^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d54ff1440c3c5ff94989fad00fdf2a09906a56e)