Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/33

$r^{2}\left\{\left(r^{2}-3ax'+2a^{2}\right)x+a\left(r^{2}-ax'\right)\right\}=2a^{2}x'y'^{2}\,;\qquad$(9)

d’où, en divisant (7) par cette dernière

${\frac {y}{x+{\frac {a\left(r^{2}-ax'\right)}{r^{2}-3ax'+2a^{2}}}}}={\frac {y'}{x'}}.\qquad$(10)

Ce résultat nous apprend que si, par l’un quelconque $(x,y)$ des points de la caustique, on mène une parallèle au rayon qui va au point d’incidence $(x',y')$ qui lui correspond, cette parallèle coupera l’axe des $x$ eu un point dont l’abscisse sera

$-{\frac {a\left(r^{2}-ax'\right)}{r^{2}-3ax'+2a^{2}}}.$

Nous verrons tout-à-l’heure ce que c’est que cette dernière quantité.

Pour faciliter la solution du problème, il faut en combiner les équations de manière à les rabaisser autant qu’il est possible par rapport à $x'$ et $y'$. D’abord, au moyen des valeurs de $x$ et de $y$ données par les équations (7) et (8), et en faisant usage de l’équation (1), on trouve

$\left(4a^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2ar^{2}x-a^{2}r^{2}={\frac {12a^{4}(a-x')^{2}y'^{2}}{\left(r^{2}-3ax'+2a^{2}\right)^{2}}}\,;$

mais, l’équadon (7) donne, en quarrant et renversant

$4a^{4}y'^{6}=r^{4}\left(r^{2}-3ax'+2a^{2}\right)^{2}y^{2}$

multipliant ces deux équations membre à membre et réduisant, il viendra

${\frac {\left(4a^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2ar^{2}x-a^{2}r^{2}}{3r^{4}y^{2}}}={\frac {(a-x')^{2}}{y'^{4}}}\,;$

et par suite