Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/231

THÉORÈME II. Si trois lignes du (p+q)ième ordre, tracées sur un même plan, passent par p(p+q) points appartenant tous à une seule et même ligne du pième ordre ; les q(p+q) points d’intersection restans de ces courbes, prises deux à deux, seront sur trois lignes du qième ordre, se coupant tous aux mêmes q2 points[1].

THÉORÈME II. Si trois lignes du (p+q)ième ordre, tracées sur même plan, ont p(p+q) tangentes communes, touchant toutes une seule et même ligne du pième ordre ; les q(p+q) tangentes communes restantes de ces courbes prises deux à deux, toucheront trois lignes du qième ordre, ayant toutes les mêmes q2 tangentes communes.

Parmi les corollaires, en nombre infini, qui résultent de ce théorème, bornons-nous à signaler les plus simples. Si d’abord nous supposons $p=q=1$. Nous aurons celui-ci :

Corollaire I. Si trois lignes du second ordre, comprises dans un même plan et circonscrites à une même droite, sont deux à deux circonscrites à trois autres droites ; ces trois dernières concourront en un même point.

Corollaire I. Si trois lignes du second ordre, comprises dans un même plan et inscrites à un même angle, sont deux à deux inscrites à trois autres angles ; les sommets de ces trois derniers appartiendront à une même droite.

Observant ensuite que les deux côtés d’un même angle forment une ligne du second ordre, ce corollaire conduira au suivant :

Corollaire II. Trois angles compris dans un même plan étant circonscrits à une même droite, les trois droites auxquelles ces mêmes angles, pris deux à deux,

Corollaire II. Trois droites comprises dans un même plan étant inscrites à un même angle, les trois angles auxquels ces mêmes droites, prises deux à deux, se-

1. En supposant que les $p(p+q)$ premiers points sont situés $p+q$ à $p+q$ sur $p$ droites, on aura le deuxième théorème proposé à démontrer à la page 36 du présent volume, lequel n’est, comme l’on voit, qu’un cas très-particulier de celui-ci.