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Si, dans le même corollaire III, ou suppose $m=4$ ; on en déduira celui-ci :

Corollaire V. Dans tout octogone inscriptible à une ligne du second ordre, les huit points où les côtés de rangs pairs concourent avec les côtés de rangs impairs qui ne leur sont pas consécutifs appartiennent tous à une autre ligne du second ordre et réciproquement.

Corollaire V. Dans tout octogone circonscriptible à une ligne du second ordre, les huit droites qui joignent les sommets de rangs pairs avec les sommets de rangs impairs qui ne leur sont pas consécutifs touchent toutes une autre ligne du second ordre et réciproquement.

En d’autres termes :

Corollaire VI. Si un octogone étoilé, non régulier, est inscriptible à une ligne du second ordre, l’octogone non étoilé qui aura les mêmes côtés sera aussi inscriptible à une ligne du second ordre et réciproquement.

Corollaire VI. Si un octogone étoilé, non régulier, est circonscriptible à une ligne du second ordre, l’octogone non étoile qui aura les mêmes sommets sera aussi circonscriptible à une ligne du second ordre et réciproquement.

Si, dans le théorème général, on remplace $p+q$ par $m$ et qu’on fasse tour-à-tour $p$ et $q$ égaux à deux, on en déduira ce corollaire :

Corollaire VII. Si, parmi les $m^{2}$ intersections de deux lignes du mième ordre, situées dans un même plan, il s’en trouve $2m$ qui appartiennent à une ligne du deuxième ordre, les $m(m-2)$ intersections restantes appartiendront toutes à une seule et même ligne du (m-2)ième ordre et réciproquement.

Corollaire VII. Si, parmi les $m^{2}$ tangentes communes à deux lignes du mième ordre, situées dans un même plan, il s’en trouve $2m$ qui touchent une ligne du deuxième ordre, les $m(m-2)$ tangentes communes restantes toucheront toutes une seule et même ligne du (m-2)ième ordre et réciproquement.

Soit menée à une ligne du m^ième ordre une sécante arbitraire, puis des tangentes par les $m$ points où cette sécante la coupera ;