ou, en réduisant
L’équation de la caustique cherchée sera donc le résultat de l’élimination de et entre les équations (1), (2), (3).
Pour effectuer cette élimination, éliminons tour-à-tour, comme nous l’avons déjà fait ci-dessus, et entre les équations (2) et (3) ; en ayant toujours égard à l’équation (4), il viendra
La première de ces équations peut encore s’écrire ainsi
et, en divisant l’équation (5) par cette dernière, il vient
ce qui signifie que la droite menée par le milieu de l’abscisse du point d’incidence, parallèlement à la normale en ce point, rencontre le rayon réfléchi en son point de contact avec la caustique ; voilà donc un premier moyen graphique de décrire cette courbe par points.
En ajoutant au quarré de l’équation (4) le quadruple du quarré de l’équation (5), on trouvera, en ayant toujours égard à l’équation (1)
d’où