pris sur la première courbe, et dont les polaires touchent la seconde en des points respectivement. La corde aura elle-même pour son pôle le point d’intersection des deux polaires. Or ce point approche d’autant plus de se confondre avec les points de contact que ceux-ci seront plus rapprochés, et en même temps les pôles sur la première courbe, deviennent d’autant plus voisins l’un de l’autre. En faisant donc coïncider avec la corde se changera en une tangente à la première courbe, ayant pour son pôle le point de la seconde ; ce qui démontre la proposition annoncée. On prouverait avec la même facilité qu’étant donnés un point et sa polaire, par rapport à la première courbe, si l’on construit, relativement à la directrice, la polaire de ce point et le pôle de cette droite, on aura par là même un point et sa polaire, par rapport à l’autre courbe.
Ce qui précède renferme les principes de la théorie des pôles et polaires réciproques, dont nous ferons souvent usage dans la suite de ces recherches. M. Poncelet, à qui est due cette extension importante de la théorie des pôles, a montré dans son grand traité, et dans un article du tome VIII des Annales de mathématiques (pag. 201), comment on peut y parvenir directement, sans recourir aux propriétés des hexagones inscrit et circonscrit. Il a fait voir, par des applications très-variées, toute l’utilité de cette nouvelle théorie, dont il a enrichi la géométrie. En général, il résulte de cette théorie qu’il n’existe aucune relation descriptive d’une figure donnée sur un plan qui n’ait sa correspondante dans une autre figure ; en sorte que toute propriété appartenant à une figure composée de points et de lignes, soit droites soit courbes, et tracée sur le plan d’une ligne arbitraire du second ordre, prise pour directrice, entraîne nécessairement l’existence d’une certaine propriété corrélative de la figure qu’on peut concevoir comme polaire réciproque de la proposée. Par exemple, à chaque propriété des polygones inscrits aux lignes du second ordre doit correspondre
