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${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} v^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} v^{2}}}=0.$

En éliminant ${\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} v^{2}}}$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} v^{2}}}$ entre ces trois équations et mettant pour ${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}$ et ${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}$ dans l’équation résultante leurs valeurs données par les formules (2), on aura

$(t-x)\operatorname {d} x+(u-y)\operatorname {d} y=0.\qquad$(13)

Si l’on met les mêmes valeurs dans l’équation différentielle de (1) qui est

$t{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}+u{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}=v\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,$

elle deviendra

$t(t-x)+u(u-y)=v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;$

ou simplement, en ayant égard à l’équation (1)

$tx+uy=0.\qquad$(14)

Les mêmes valeurs mises dans l’équation (7) donneront

$(t-x)^{2}+(u-y)^{2}=Bv^{2}.$

ou, en développant et ayant égard aux équations (1) et (14)

$x^{2}+y^{2}=\left(B-\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)v^{2}=E^{2}v^{2}\,;\qquad$(15)