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Lorsque le fil se développe, on peut, durant un instant infiniment petit, supposer qu’il tourne autour de son point de contact avec le cône, supposé fixe ; et, puisque son extrémité ne quitte pas, dans ce mouvement, le plan perpendiculaire à l’axe conduit par le sommet, il est dans le même cas que s’il était mu sur la surface d’un autre cône droit ayant sa base sur ce plan et son sommet au point de contact. Son extrémité décrit donc un petit arc de cercle ayant son centre à la projection du point de contact sur le plan dont il s’agit.

Ainsi, dans chaque situation du fil mobile, la projection de son point de contact avec le cône, sur le plan perpendiculaire à son axe conduit par son sommet est le centre de courbure de l’arc de courbe que décrit son extrémité ; de sorte que la projection de la courbe tracée sur le cône est la développée de la courbe tracée sur le plan de projection.

Cela posé, soit pris le sommet du cône pour origine des coordonnées rectangulaires et son axe pour axe des $z$ positifs. En représentant par $\alpha$ son angle générateur, si $(t,u,v)$ est le point de contact du fil avec sa surface, on aura

$t^{2}+u^{2}=v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha .\qquad$(1)

Si de plus on suppose que $(x,y)$ est l’extrémité du fil ou le point décrivant, sur le plan des $xy$ ; ce point devant satisfaire aux équations de la tangente, on aura

${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}={\frac {t-x}{v}},\qquad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}={\frac {u-y}{v}}.\qquad$(2)

En représentant par $s$ la longueur du fil, depuis le point $(t,u,v)$ jusqu’au point $(x,y),$ on doit avoir

$s={\sqrt {(t-x)^{2}+(ruv-y)^{2}+v^{2}}},\qquad$(3)