Solution du deuxième Problème.
Problème. Suivant quelle courbe un fil parfaitement flexible et inextensible doit-il être roulé sur la surface d’un cône droit, pour qu’en développant ce fil, supposé se terminer au sommet du cône, de manière à le maintenir constamment tangent à la courbe, son extrémité ne sorte pas du plan conduit par ce sommet, perpendiculairement à l’axe du cône ? Et quelle courbe décrira alors cette extrémité sur ce plan ?
Solution. Soit un fil d’une longueur déterminée quelconque, fixé, par l’une de ses extrémités, à l’un quelconque des points de la surface d’une cône. On pourra toujours l’amener à être situé dans le plan tangent au point d’attache, et le faire tourner ensuite dans ce plan, autour de ce point, jusqu’à ce que son autre extrémité se trouve sur le plan perpendiculaire à l’axe conduit par le sommet. Rien n’empêchera alors d’enrouler ce fil sur le cône, de manière que cette extrémité ne sorte pas de ce plan, et dès lors il s’appliquera sur ce cône suivant la courbe demandée.
Ces considérations, qui offriraient au besoin un moyen mécanique de tracer les deux courbes cherchées, prouvent que non seulement le problème est toujours possible, mais que de plus on peut toujours assujettir la courbe tracée sur le cône à passer par un point donné de sa surface et à avoir en outre, de ce point au sommet, une longueur donnée ; de sorte que son équation doit contenir deux constantes arbitraires.
