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QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des deux premiers problèmes de géométrie
proposés à la page 327 du précèdent
volume.

Solution du premier problème ;

Par M. Vallès, élève à l’École polytechnique.

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Problème. Un fil parfaitement flexible et inextensible est appliqué sur la surface d’un cône droit, de manière à suivre exactement les circonvolutions d’une spirale conique qui s’y trouve tracée, et à se terminer au sommet du cône. On suppose que l’on développe ce fl, en le tenant constamment tangent à la spirale, et on demande quelle courbe décrira son extrémité dans l’espace ?

Solution. Le fil, en se développant, décrit dans l’espace une surface développable dont la spirale conique est l’arête de rebrousement ; et la courbe demandée se trouve tracée sur cette surface, dont l’équation peut conséquemment être prise pour l’une des équations de cette courbe. Cherchons d’abord cette équation.

Soit pris le sommet du cône pour origine des coordonnées rectangulaires et son axe pour axe des $z$ positifs. Disposons de plus le plan des $xz$ de telle sorte qu’il soit tangent à la spirale à son origine. Comme il a été prouvé (Annales, tom. XVI, pag. 167) que la projection de cette courbe sur le plan des $xy$ est une spirale d’\operatorname{Arc}himède, en appelant $\alpha$ l’angle générateur du cône et repré-