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$\mathrm {AB'\times BC''\times CA'=BA'\times CB'\times AC''} \,;\qquad$(2)

d’où en divisant (1) par (2),

$\mathrm {{\frac {BC'}{BC''}}={\frac {AC'}{AC''}}} ,\quad$ou$\quad \mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}={\frac {AC''}{BC''}}}$

or, cette équation exprime que la droite $\mathrm {AB}$ est coupée harmoniquement aux points $\mathrm {C'}$ et $\mathrm {C''}$ ; ; donc, si elle pouvait avoir lieu, les points $\mathrm {C',C''}$ ne pourraient, suivant l’hypothèse, être situés tous deux entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ; donc le point $\mathrm {C''}$ ne saurait être différent du point $\mathrm {C'}$ ; donc la droite menée du point $\mathrm {C}$ au point d’intersection de $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB'}$ coupe $\mathrm {AB}$ au point $\mathrm {C'}$ ; donc enfin, les trois droites $\mathrm {AA',BB',CC'}$ se coupent au même point^[1].

Par un autre point $\mathrm {P'}$ de la direction de $\mathrm {CC',}$ soient menées deux nouvelles droites $\mathrm {AP',BP',}$ coupant respectivement $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {A'',B''}$ ; nous aurons semblablement

$\mathrm {AB''\times BC'\times CA''=BA''\times CB''\times AC'} \,;\qquad$(3)

d’où en divisant (1) par (3),

$\mathrm {{\frac {AB'}{AB''}}\times {\frac {CA'}{CA''}}={\frac {BA'}{BA''}}\times {\frac {CB'}{CB''}}} \,;$

c’est-à-dire,

$\mathrm {{\frac {CA'}{CA''}}:{\frac {CB'}{CB''}}::{\frac {BA'}{BA''}}:{\frac {AB'}{AB''}}} \,;\qquad$(4)

1. Il serait curieux d’examiner si de là on ne pourrait pas tirer une démonstration directe de la propriété de l’hexagone circonscrit au cercle analogue à celle que nous avons donnée, dans la note précédente, pour l’hexagone inscrit.
   J. D. G.