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Le point de rebroussement de la caustique dont nous étudions les propriétés étant un point très-remarquable de cette courbe, nous nous trouvons naturellement invités à y transporter l’origine, et à chercher ensuite l’équation polaire de cette même caustique. Pour transporter l’origine à ce point de rebroussement, il suffit simplement de changer, dans l’équation (7), $3x$ en $3x+r,$ ce qui, en changeant ensuite $r$ en $3a,$ donnera

$x^{2}+y^{2}+2ax=\pm 2a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\qquad$(8)

Pour passer de là aux coordonnées polaires, il faudra faire

$x=\rho \operatorname {Cos} .\varphi ,\quad y=\rho \operatorname {Sin} .\varphi ,\quad$d’où$\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\rho \,;$

il viendra ainsi, en substituant et divisant par $\rho$,

$\rho +2a\operatorname {Cos} .\varphi =\pm 2a.\qquad$(9)

Cette équation manifeste une des plus belles propriétés de notre caustique. Considérons, en effet, un cercle concentrique avec le cercle réfléchissant, et ayant pour rayon $a={\frac {1}{3}}r,$ son équation relative à la nouvelle origine sera

Si l’on suppose ensuite que le point rayonnant $(a,b)$ est un de ceux de la circonférence, on aura $a^{2}+b^{2}=r^{2}$, et conséquemment

$\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(ax+by)\right\}.$

Si enfin on suppose que ce point est sur l’axe des $x,$ à gauche de l’origine, on aura $a=-r,\ b=0,$ et cette équation deviendra

$\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left\{y^{2}+(x+r)^{2}\right\}\,;$

c’est-à dire, la même que celle du texte.

J. D. G.