d’entre eux qui seront situes sur les côtés même, sera toujours impair.
Par l’un quelconque
des sommets du triangle soit menée au côté opposé une parallèle, coupée respectivement en
et
par les directions de
et
; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {AB':CB'::AB:CE} ,\\&\mathrm {BC':AC'::CE:CD} ,\\&\mathrm {AB\,:CD\,::BA':CA'} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56be4ef4eb09c81594048a19bed63312daf67ffb)
d’où, en multipliant et simplifiant,
![{\displaystyle \mathrm {AB'xBC':CB'\times AC'::BA':CA'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1609a4b7b24e9f1275a6f76b870274e2e85c2025)
et par suite
![{\displaystyle \mathrm {AB'\times BC'\times CA'=BA'\times CB'\times AC'} .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9a32fa02ad25fa54116d1473661871f3a4157b)
(1)
Réciproquement, si trois points
sont situées, sur les directions des trois côtés
d’un triangle
de telle sorte que cette relation ait lieu, et si le nombre de ceux d’entre eux qui sont situés sur les côtés même du triangle est impair, les droites
concourront toutes trois en un même point
En effet, il y aura toujours deux de ces trois points qui seront ou l’un et l’autre sur les côtés même, ou l’un et l’autre sur leurs prolongemens. Soient
ces deux points, soit
l’intersection de
et
; et admettons que la droite
coupe la direction de
en quelque point
différent de
; il faudra nécessairement que les points
et
soient tous deux sur le côté
lui-même.
Mais alors
concourant en un même point
on devra avoir, par ce qui précède,