Imaginons qu’ayant réparti les noms des couleurs entre tous les sommets du polygone d’une manière quelconque, on applique ensuite à chacune des faces du polyèdre la couleur qu’indique son centre, on obtiendra ainsi un des polyèdres colorés dont on demande le nombre. Si on répète l’opération autant de fois qu’il y a de manières de répartir les couleurs entre les sommets du polygone gauche, on obtiendra ainsi des polyèdres colorés, en nombre exprimé par la formule (2), lesquels seront tous du genre de ceux dont nous cherchons le nombre.
Or je dis, en premier lieu, qu’on n’en aura omis d’aucune sorte ; car supposons qu’on nous en présente un duquel on prétende qu’il ne se trouve pas parmi ceux que nous avons formés ; posons-le sur une quelconque de ses faces comme base inférieure ; tournons-le sur cette base jusqu’à ce qu’un côté de sa base supérieure soit complètement tourné vers nous ; et construisons le polygone gauche ouvert suivant le procédé indiqué ci-dessus ; il se trouvera une certaine couleur à chacun de ses sommets ; et si, comme on le suppose, l’arrangement des couleurs y était nouveau, il s’ensuivrait, contrairement à l’hypothèse, que, dans l’exécution de notre procédé, nous n’aurions pas épuisé tous les arrangemens possibles.
Non seulement nous n’aurons point fait d’omissions, mais chaque sorte de polyèdre aura été exécuté plusieurs fois ; et il s’agit, en second lieu, de savoir combien de fois chaque sorte de polyèdre aura été répétée.
Or, qu’on nous donne un quelconque de ces polyèdres colorés, qu’on le pose tour-à-tour sur chacune de ses faces comme base inférieure, et que, pour chaque base inférieure, on le fasse tourner, de manière à amener tour-à-tour devant soi chacun des côtés de sa base supérieure ; on lui aura ainsi donné situations différentes, pour chacune desquelles on pourra construire le polygone gauche comme il a été dit ci-dessus. Or, il est clair que, dans chaque cas, on aura aux sommets de ce polygone une des combinaisons des couleurs qu’on avait faite d’abord, puisqu’on les avait
