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dans laquelle il faudrait mettre pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur tirée de l’équation de la courbe. Mais, au lieu d’avoir recours à cette équation, nous pourrons employer la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ déjà obtenue, en $x'$ et $y'.$ Mettant en outre pour $x$ et $y$ les valeurs données par les équations (4) et (5), et ayant égard à l’équation (1), on trouvera

$\left\{r^{2}-x'(2x'-r)\right\}.3Y+(2x'-r)y'.3X=r^{2}y'.\qquad$(2’)

On exprimera que la développée est l’enveloppe de l’espace parcouru par la normale, en éliminant ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ entre les dérivées des équations (1) et (2’), ce qui donnera

$\left\{x'(4x'-r)-2r^{2}\right\}.3X+(4x'-r)y'.3Y=r^{2}x'.\qquad$(3’)

L’équation de la développée sera donc le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre les équations (1), (2’), (3’).

Mais les équations (2’) et (3’) ne sont que les équations (2) et (3), dans lesquelles on aurait changé respectivement $x$ et $y$ en $3X$ et $3Y$ et changé en outre le signe de $r$. Le résultat de l’élimination ne sera donc autre chose que l’équation (7), résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre les équations (1), (2), (3), dans laquelle on aurait opéré les mêmes changemens ; c’est-à-dire, que l’équation de la développée de notre caustique sera

$\left\{9\left(9X^{2}+9Y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{2}=4r^{2}\left\{9.9Y^{2}+(3.3X+r)^{2}\right\}\,;$

ou bien, en posant, pour plus de simplicité ; $r=3R$.

$\left\{9\left(X^{2}+Y^{2}\right)-R^{2}\right\}^{2}=4R^{2}\left\{9Y^{2}+(3X+R)^{2}\right\}.\qquad$(7’)

En comparant cette équation à l’équation (7), on voit qu’elle est