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$s=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=\int {\frac {2(r-2x')}{3r}}{\sqrt {\frac {2r^{3}}{(r+x')(r-2x')^{2}}}}\operatorname {d} x'$

$={\frac {2}{3}}\int \operatorname {d} x'{\sqrt {\frac {2r}{r+x'}}}\,;$

ce qui donne, en intégrant

$s={\frac {4}{3}}{\sqrt {2r(r+x')}}+A.$

Si l’on veut compter les arcs du point rayonnant, pour lequel on a $y'=0$ et $x'=-r,$ la constante sera nulle, et l’on aura simplement

$s={\frac {4}{3}}{\sqrt {2r(r+x')}}\,;$

ou, en se rappelant les résultats ci-dessus,

$s={\frac {4}{3}}P=P+{\frac {1}{3}}P=P+P'.$

Ainsi, notre caustique est rectifiable, et l’arc, compris depuis le point rayonnant jusqu’à un autre point quelconque, est constamment égal à la somme des longueurs des rayons incident et réfléchi qui répondent à ce dernier point.

Lorsque $P=2r$, on a $P'={\frac {2}{3}}r$ ; d’où résulte $s={\frac {8}{3}}r$ ; et telle est la longueur de la demi-caustique ; mais la corde de cette demi-caustique est ${\frac {4}{3}}r$ ; donc la longueur de la demi-caustique est précisément double de sa corde ; ou, en d’autres termes, la longueur de la caustique entière est quadruple de celle de la droite qui joint son point de rebroussement à son point de contact avec le cercle réfléchissant.

Appliquons encore les considérations précédentes à la recherche de la développée de la caustique.

Soit $(X,Y)$ un quelconque des points de cette développée ; l’équation de la normale à la caustique sera

$(X-x)+(Y-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,$