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moire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires.

Si l’on pose, dans la formule (62), $x=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}p,$ on trouvera

(122)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} p=2\varpi \left\{\varphi (0)+{\frac {H+K{\sqrt {-1}}}{h+k{\sqrt {-1}}}}+\ldots \right\}\,;$

ou, ce qui revient au même,

(123)${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\varpi }\left[\varphi \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)+\varphi \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)\right]\operatorname {d} p=\varpi \left\{\varphi (0)+{\frac {H+K{\sqrt {-1}}}{h+k{\sqrt {-1}}}}+\ldots \right\}.$

L’équation (122) coïncide avec l’une des formules générales que j’ai données dans le XIX.^e cahier du Journal de l’école polytechnique. De plus, si, dans l’équation (123), on fait successivement

$\varphi (u)={\frac {\operatorname {f} (u)}{1-ru}},\qquad \varphi (u)={\frac {\operatorname {f} (u)}{1-{\frac {r}{u}}}}\,;$

$r$ désignant une constante positive, et $\operatorname {f} (u)$ une fonction qui conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de $u$, réelles ou imaginaires, dont le module est inférieur à l’unité ; on trouvera, pour $r<1,$

(124)$\left\{{\begin{aligned}&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{-p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p=\varpi \operatorname {f} (0),\\\\&\int _{0}^{\varpi }{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {f} \left(e^{p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{-p{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\operatorname {f} \left(e^{-p{\sqrt {-1}}}\right)}{1-re^{p{\sqrt {-1}}}}}\right\}\operatorname {d} p=\varpi \operatorname {f} (r),\end{aligned}}\right.$

pour $r=1$