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dra les valeurs d’un grand nombre d’intégrales définies, parmi lesquelles je citerai celles qui suivent :

(59)$\int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}\operatorname {Cos} .\left[\mu \operatorname {l} (x)\right]\varphi (x)\operatorname {d} x,\quad \int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}\operatorname {Sin} .\left[\mu \operatorname {l} (x)\right]\varphi (x)\operatorname {d} x\,;$

(60)$\int _{0}^{\infty }\left\{e^{\frac {\mu \pi }{2}}\operatorname {Sin} .\left[{\frac {\lambda \pi }{2}}-bx-\mu \operatorname {l} (x)\right]+e^{-{\frac {\mu \varpi }{2}}}\operatorname {Sin} .\left[{\frac {\lambda \pi }{2}}-bx+\mu \operatorname {l} (x)\right]\right\}\varphi (x)\operatorname {d} x\,;$

(61)$\int _{0}^{\infty }\left\{e^{\frac {\mu \pi }{2}}\operatorname {Cos} .\left[{\frac {\lambda \pi }{2}}-bx-\mu \operatorname {l} (x)\right]-e^{-{\frac {\mu \pi }{2}}}\operatorname {Cos} .\left[{\frac {\lambda \pi }{2}}-bx+\mu \operatorname {l} (x)\right]\right\}\varphi (x)\operatorname {d} x\,;$

On déterminera les deux premières, quelle que soit la fraction rationnelle désignée par $\varphi (x)$ ; et les deux dernières, toutes les fois que cette fraction deviendra une fonction paire de la variable $x$.

Aux formules générales ci-dessus établies, on pourrait en joindre un grand nombre d’autres, dans lesquelles entreraient des fonctions $\varpi (u),\chi ,\psi (w),\ldots$ des variables

$u={\frac {1+x{\sqrt {-1}}}{1-x{\sqrt {-1}}}},\quad v=\operatorname {l} \left(r-x{\sqrt {-1}}\right),\quad w=\operatorname {l} \left(1+{\frac {s}{x}}{\sqrt {-1}}\right),\ldots$

Ainsi, par exemple, $h+k{\sqrt {-1}}$ désignant toujours une des racines intégrales de ${\frac {1}{\varphi (x)}},$ et l’expression $H+K{\sqrt {-1}}$ étant déterminée par la formule (27), on tirera de l’équation (3)

(62)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \left({\frac {\left(1+x{\sqrt {-1}}\right)}{1-x{\sqrt {-1}}}}\right){\frac {\operatorname {d} x}{x^{2}+1}}=\varpi \left\{\varphi (0)+{\frac {H+K{\sqrt {-1}}}{h+k{\sqrt {-1}}}}+\ldots \right\}.$

(63)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \left[\operatorname {l} (-x{\sqrt {-1}})\right]{\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}$