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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

(42)$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{\operatorname {Cos} .bx}}\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=-2\varpi \left\{\left(K-H{\sqrt {-1}}\right).{\frac {\left(e^{ak}+e^{-ak}\right)\operatorname {Cos} .ah-{\sqrt {-1}}\left(e^{ak}-e^{-ak}\right)\operatorname {Sin} .ah}{\left(e^{bk}+e^{-bk}\right)\operatorname {Cos} .bh-{\sqrt {-1}}\left(e^{bk}-e^{-bk}\right)\operatorname {Sin} .bh}}+\ldots \right\}.$

(43)$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ax}{\operatorname {Sin} .bx}}\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=-\varpi \left\{\left(K-H{\sqrt {-1}}\right).{\frac {\left(e^{ak}-e^{-ak}\right)\operatorname {Cos} .ah-{\sqrt {-1}}\left(e^{ak}+e^{-ak}\right)\operatorname {Sin} .ah}{\left(e^{bk}-e^{-bk}\right)\operatorname {Cos} .bh-{\sqrt {-1}}\left(e^{bk}+e^{-bk}\right)\operatorname {Sin} .bh}}+\ldots \right\}.$

et, en prenant pour $\varphi (x)$ une fonction rationnelle, mais impaire de la variable $x$,

(44)$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{\operatorname {Sin} .bx}}\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=-2\varpi \left\{\left(K-H{\sqrt {-1}}\right).{\frac {\left(e^{ak}+e^{-ak}\right)\operatorname {Cos} .ah-{\sqrt {-1}}\left(e^{ak}-e^{-ak}\right)\operatorname {Sin} .ah}{\left(e^{bk}+e^{-bk}\right)\operatorname {Sin} .bh+{\sqrt {-1}}\left(e^{bk}-e^{-bk}\right)\operatorname {Cos} .bh}}+\ldots \right\}.$

(45)$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ax}{\operatorname {Cos} .bx}}\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=-2\varpi \left\{\left(K-H{\sqrt {-1}}\right).{\frac {\left(e^{ak}+e^{-ak}\right)\operatorname {Sin} .ah-{\sqrt {-1}}\left(e^{ak}-e^{-ak}\right)\operatorname {Cos} .ah}{\left(e^{bk}+e^{-bk}\right)\operatorname {Cos} .bh-{\sqrt {-1}}\left(e^{bk}-e^{-bk}\right)\operatorname {Sin} .bh}}+\ldots \right\}.$

Comme d’ailleurs ces quatre dernières intégrales s’évanouissent évidemment, savoir : les deux premières lorsque $\varphi (x)$ deviendra une fonction impaire, et les deux dernières lorsque $\varphi (x)$ deviendra une fonction paire ; on peut en conclure que les valeurs de ces quatre intégrales seront connues pour des valeurs quelconques de la fonction rationnelle désignée par $\varphi (x).$

Chacune des formules que nous venons d’établir se décompose