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$(y-\beta ')={\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}(x-x'),\qquad (y-\beta )={\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}(x-x),$

qu’on reconnaît pour les équations des tangentes aux deux extrémités de la corde $\gamma =0.$ La droite $V=0,$ que nous savons déjà passer par le point $(s),$ passe donc aussi, dans le cas présent, par le point de concours des deux tangentes ; elle est donc la deuxième diagonale du parallélogramme dont il a été question ci-dessus ; elle coupe donc la première $\gamma =0$ en son milieu, et conséquemment ce milieu sera le point de contact de la corde $\gamma =0$ avec l’enveloppe de toutes les cordes qui retranchent de la courbe des segmens équivalens. On a donc ce théorème général :

L’enveloppe des cordes qui retranchent d’une courbe plane quelconque des segmens équivalens, touche chacune de ces cordes en son milieu^[1].

1. Ce théorème pourrait aussi être assez simplement démontré comme il suit :

   Considérons deux cordes consécutives quelconques $\mathrm {MN}$ et $\mathrm {M'N'}$ se coupant en $\mathrm {O} \,;$ ce point $\mathrm {O}$ sera le point de contact de l’enveloppe avec la corde $\mathrm {MN} \,;$ et, à cause de la petitesse des arcs $\mathrm {MM',NN',}$ les secteurs $\mathrm {MOM',MON'}$ pourront être considérés comme des triangles rectilignes, lesquels, par l’état de la question, devront être équivalens. Mais, parce que ces triangles ont en $\mathrm {O}$ un angle égal, leurs aires sont proportionnelles aux produits des côtés qui comprennent cet angle, de sorte qu’on doit avoir

   $\mathrm {OM.OM'=ON.ON'} .$

   Soient posés

   $\mathrm {OM'=OM-\mu ,\qquad ON'=ON-\nu } ,$

   $\mu$ et $\nu$ pouvant être indistinctement positifs ou négatifs, il viendra, en substituant,