En ajoutant au quarré de la première le quadruple du quarré de la seconde, le terme en
disparaîtra, et en remplaçant
par sa valeur
on obtiendra, pour l’équation de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés,
![{\displaystyle 4r^{2}\left\{\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}\right\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586311818ea28eb4fa3104f12e7e3495dfc4be2f)
![{\displaystyle \left\{\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\right\}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a2e60a87e0540455d0742ca2df18e9831cb8e6)
En développant et rassemblant les termes affectés des même s puissances et produits des puissances de
et
cette équation prendra la forme
![{\displaystyle 2\lambda ^{2}\lambda '^{2}\left\{\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-4r^{2}(ax+by)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bc84fa54f3cbaf981e93afd5bdd88adbb73a7b)
![{\displaystyle =\lambda '^{4}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}+\lambda ^{4}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b4e4b41ad37689256ad40d12d9f8d88b30e162)
Ajoutant et retranchant tour à tour à chacun des deux membres de cette dernière la quantité
![{\displaystyle 2\lambda ^{2}\lambda '^{2}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb53541e25bcd1d0bc4023ec3c08a947d93257b)
son second membre deviendra un quarré dans les deux cas, et il viendra, par l’extraction des racines quarrées de deux membres
![{\displaystyle \pm 2\lambda \lambda '{\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2r^{2}(ax+by)+r^{4}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5bd88cb91b6b0f4018943592bff255ed7f15f6)
![{\displaystyle \lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c053532ac9a4fb738dbaf5a0520d380b5aab880)
Équations dans lesquelles les signes supérieurs et les signes inférieurs ne se correspondent pas nécessairement ; et où les uns et les autres doivent être pris, suivant les grandeurs et les signes des données
et ![{\displaystyle \lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de51b7be853374736023a9a94821b7ce41ae069)
En retranchant la seconde de la première, on trouve