Rive, de Genève, qui l’a démontré à la page 55 de sa Dissertation sur les caustiques ; (in-4.o, Genève 1823).
VI. Examinons présentement, d’une manière générale, la direction que prennent des rayons de lumière émanés d’un même point, après s’être réfractés à la rencontre de la circonférence d’un cercle transparent, situé d’une manière quelconque par rapport au point rayonnant. Ici, pour plus de simplicité, nous supposerons le centre du cercle à l’origine ; et le point rayonnant sera
En conséquence, les équations (2′) et (5′), seront remplacées par ces deux-ci
![{\displaystyle x'=a,\qquad y'=b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acdb48fe84c7993703c913814c2f96c01fca02a1)
l’équation (4) sera
![{\displaystyle t^{2}+u^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e8ba3352a63c27eff6b7861bf7316d84c8ac6a)
d’où
![{\displaystyle t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d91c01ba8afca60d76b5eb2e0f7a6d4cb44a968)
au moyen de quoi les équations (1) et (3) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}}{\lambda ^{2}}}&={\frac {(t-a)^{2}+(u-b)^{2}}{\lambda '^{2}}},\\\\{\frac {u(t-x)-t(u-y)}{\lambda ^{2}}}&={\frac {u(t-a)-t(u-b)}{\lambda '^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7daca75ae17f058a93a0919326affe63b687f1)
En réduisant dans la dernière, et en remplaçant dans l’autre
par
on obtiendra en
et
ces deux équations du premier degré
![{\displaystyle 2\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)t+2\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)u=\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0896c432069aa936ae61f6caf5bd6ab807a43bb5)
![{\displaystyle \left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)t-\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efd841a4a75b91115779189f99f81e13b6e9363)