![{\displaystyle {\frac {b(t-x)-a(u-y)}{\lambda ^{2}}}={\frac {bt-au}{\lambda '^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd823e2a73b0ecab0d0651a50fc99dea60a66409)
ou bien
![{\displaystyle bt-au={\frac {\lambda '^{2}(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5b1a6979081ec7368283c03962f3d03b851a05)
Éliminant tour à tour
et
entre cette équation et l’équation
![{\displaystyle at+bu=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed3f67f989f0361c5f6f1db4016dad85dd7098a)
il viendra, en ayant égard à la relation ![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92333b53991e3ea02f5d6384bac4911ae3060a1e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}t=ac^{2}+{\frac {\lambda '^{2}b(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}},\\\\&c^{2}u=bc^{2}-{\frac {\lambda '^{2}a(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f50c176fd4bd3ce7909f79953fefe1e7141d125)
et de là encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}(t-x)=c^{2}(a-x)+{\frac {\lambda '^{2}b(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}},\\\\&c^{2}(u-y)=c^{2}(b-y)-{\frac {\lambda '^{2}a(ay-bx)}{\lambda ^{2}-\lambda '^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8da201ec0256ca710a5bfd23ff159e87f23fd8)
En prenant tour à tour la somme des quarrés de ces deux dernières équations et la somme des quarrés des deux qui les précèdent, on trouvera successivement, en ayant toujours égard à la relation entre
et ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle c^{2}\left\{(t-x)^{2}+(u-y)^{2}\right\}=c^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right\}+{\frac {\lambda '^{2}\left(2\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)(ay-bx)^{2}}{\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19b99e001be00f1e92eaf8c46cf2eb489dd5523)
![{\displaystyle c^{2}\left(t^{2}+u^{2}\right)=c^{4}+{\frac {\lambda '^{4}(ay-bx)^{2}}{\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b35f459099b884b24f8633a2014dc6cd6e11918)