Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/38

$\left.{\begin{array}{cl}b^{2}c^{2}m^{2}+a^{2}c^{2}n^{2}&=a^{2}b^{2},\\b^{2}mg+a^{2}nh&=0,\\b^{2}g^{2}+a^{2}h^{2}&=a^{2}b^{2}.\end{array}}\right\}\quad (2)$

Si l’hyperboloïde n’est pas de révolution, ses deux demi-axes transverses $a$ et $b$ sont inégaux. Soit $a$ le plus grand des deux ; et considérons, dans le plan des $xz,$ les deux droites données par l’équation $y=0$ combinée avec la double équation

$x{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\mp z{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=0\,;\qquad \left({\begin{aligned}&\mathrm {F} \\&\mathrm {F} '\end{aligned}}\right)$

droites que nous nommerons lignes focales, à raison des propriétés que nous allons démontrer leur appartenir, et qui se confondraient toutes deux avec l’axe des $z,$ si l’hyperboloïde était de révolution. Si nous désignons par $p$ et $p'$ les angles que fait la génératrice (K) avec les deux droites (F, F′), et par $q,q'$ les supplémens de ces angles, nous aurons

${\begin{array}{rll}\operatorname {Cos} .p&=-\operatorname {Cos} .q&=\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}+m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}\right)}}},\\\\\operatorname {Cos} .p'&=-\operatorname {Cos} .q'&=\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}-m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}\right)}}}.\end{array}}$

En chassant $n^{2}$ de ces formules, au moyen de la première des équations (2) elles deviendront

${\begin{array}{rll}\operatorname {Cos} .p&=-\operatorname {Cos} .q&=\pm ac.{\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}+m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}},\\\\\operatorname {Cos} .p'&=-\operatorname {Cos} .q'&=\pm ac.{\frac {{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}-m{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{\sqrt {\left(a^{2}+c^{2}\right)\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)+m^{2}c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]}}}.\end{array}}$

De là on conclura