nature des multiplicateurs des diverses puissances de
dans la formule (12). Soit, en général, désigné par
la limite vers laquelle tend sans cesse le rapport
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} ^{(p-1)}(x+k)-\operatorname {f} ^{(p-1)}x}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9453b3cc3e90d415a36d902bdf0c3a35d10648b6)
lorsque
tend vers zéro ; où, en d’autres termes, ce que devient ce rapport, lorsque
devient infiniment petit ou nul. Alors
seront ce qu’on appelle les dérivées successives de la fonction
On aura d’abord
![{\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x,x)=\operatorname {f} 'x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c6cd7e08eec24adf1c51dffd530bef56631b2f)
car on a
![{\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x,x+k)={\frac {\operatorname {f} (x+k)-\operatorname {f} x}{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a724db43b4b1f920a1459d77470fe074c6d44c74)
et les deux quantités
et
sont respectivement ce que deviennent les deux membres de cette équation, lorsqu’on suppose ![{\displaystyle k=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274c79b3ac027e0d0cd04cf86ae43c15567ba0bc)
On aura en conséquence,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} '(x+k)-\operatorname {f} 'x}{k}}={\frac {\operatorname {f} _{1}(x+k,x+k)-\operatorname {f} _{1}(x,x)}{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0a40c0f4057067764eba6e83ea8a541ff72bc3)
mais, en vertu de la formule (11)
![{\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x+k,x+k)-\operatorname {f} _{1}(x,x)=k\left\{\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0d1f9da1bcc05ab150ae51df4d41324fbf3de3)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} '(x+k)-\operatorname {f} 'x}{k}}=\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3e1d40e44441d5733274849fd8cb0f778de49e)
donc aussi
car ce sont là les limites respectives