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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/341
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f
n
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
r
,
s
)
=
f
n
−
1
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
q
,
s
)
−
f
n
−
1
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
q
,
r
)
s
−
r
,
=
f
n
−
1
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
q
,
r
)
r
−
s
+
f
n
−
1
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
q
,
s
)
s
−
r
;
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {f} _{n}(a,b,c,\ldots p,r,s)&={\frac {\operatorname {f} _{n-1}(a,b,c,\ldots p,q,s)-\operatorname {f} _{n-1}(a,b,c,\ldots p,q,r)}{s-r}},\\\\&={\frac {\operatorname {f} _{n-1}(a,b,c,\ldots p,q,r)}{r-s}}+{\frac {\operatorname {f} _{n-1}(a,b,c,\ldots p,q,s)}{s-r}}\,;\end{aligned}}}
il viendra donc, en substituant,
f
n
(
a
,
b
,
c
,
…
q
,
r
,
s
)
{\displaystyle \operatorname {f} _{n}(a,b,c,\ldots q,r,s)}
=
{
f
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
…
(
a
−
q
)
(
a
−
r
)
+
f
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
…
(
a
−
q
)
(
a
−
s
)
+
f
b
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
…
(
b
−
q
)
(
b
−
r
)
+
f
b
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
…
(
b
−
q
)
(
b
−
s
)
+
…
…
…
…
…
…
…
…
+
…
…
…
…
…
…
…
…
+
f
q
(
q
−
a
)
(
q
−
b
)
…
(
q
−
p
)
(
q
−
r
)
+
f
q
(
q
−
a
)
(
q
−
b
)
…
(
q
−
p
)
(
q
−
s
)
+
f
r
(
r
−
a
)
(
r
−
b
)
…
(
r
−
p
)
(
r
−
q
)
+
f
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
…
(
s
−
p
)
(
s
−
q
)
}
:
{\displaystyle =\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(a-c)\ldots (a-q)(a-r)}}+{\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(a-c)\ldots (a-q)(a-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)\ldots (b-q)(b-r)}}+{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)\ldots (b-q)(b-s)}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {\operatorname {f} q}{(q-a)(q-b)\ldots (q-p)(q-r)}}+{\frac {\operatorname {f} q}{(q-a)(q-b)\ldots (q-p)(q-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} r}{(r-a)(r-b)\ldots (r-p)(r-q)}}+{\frac {\operatorname {f} s}{(s-a)(s-b)\ldots (s-p)(s-q)}}\end{aligned}}\right\}\,:}
où, en réduisant à une seule les fractions de même numérateur,
f
n
(
a
,
b
,
c
,
…
p
,
q
,
s
)
=
{
f
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
…
(
a
−
r
)
(
a
−
s
)
+
f
b
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
…
(
b
−
r
)
(
b
−
s
)
+
…
…
…
…
…
…
+
f
r
(
r
−
a
)
(
r
−
b
)
…
(
r
−
q
)
(
r
−
s
)
+
f
r
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
…
(
s
−
q
)
(
s
−
r
)
}
;
{\displaystyle \operatorname {f} _{n}(a,b,c,\ldots p,q,s)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(a-c)\ldots (a-r)(a-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)\ldots (b-r)(b-s)}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {\operatorname {f} r}{(r-a)(r-b)\ldots (r-q)(r-s)}}\\\\+&{\frac {\operatorname {f} r}{(s-a)(s-b)\ldots (s-q)(s-r)}}\end{aligned}}\right\}\,;}