![{\displaystyle z=px+qy,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c08c72d5461e7c2d0960f2c925e85025cb1821c)
(1)
Cela posé, supposons que la surface à laquelle cette surface conique est circonscrite soit de l’ordre
et soit son équation
![{\displaystyle \varphi (x,y,z)=V=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d217699941f7e86ee3ec402df09935670ba3eeb4)
(2)
ses deux équations différentielles partielles seront
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982309b9c52206689fa82e924152816aaf73f9f2)
or, si l’on veut que la surface conique lui soit circonscrite, il faudra qu’en leurs points communs elles aient le même plan tangent et qu’on ait conséquemment
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5dcd27004dbb54b30c04ced076d03a0ac5f075)
ce qui changera les deux équations différentielles partielles en celles-ci
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}p=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}q=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b252992e6bd49ffa7a61346e579de562d1daa2)
(3)
Éliminant donc
et
entre les équations (1) et (3), on obtiendra, pour une des équations de la ligne de contact des deux surfaces
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4fedf61f6318905adf81b3bc1709940c824db6)
(4)
tandis que l’autre équation de cette même ligne sera évidemment l’équation (2).