qui satisfont à l’équation
lorsqu’elle est résoluble et que, lorsqu’elle ne l’est pas, cette intégrale se réduit à zéro.
Nous avons démontré que, si
et
ont un facteur commun, différent de l’unité, qui ne divise pas
l’équation
n’admet aucune solution entière, et comme, si ce facteur commun divise aussi
on peut toujours le supprimer, il sera permis dans en cas, de supposer que
et
sont premiers entre eux ; et alors on sera assuré qu’il existe toujours une valeur entière de
comprise entre zéro et
y qui satisfait à l’équation dont il s’agit, et qu’il n’en existe qu’une seule.
Actuellement, pour trouver cette valeur de
on considérera le terme général de l’intégrale (4), et on aura
(5)
![{\displaystyle \qquad {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x.\operatorname {Cos} .2u{\frac {ax+b}{c}}\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caee0a5ea01f3aa3deb02330de4ba1952931f00c)
![{\displaystyle ={\frac {(c-1)\operatorname {Sin} .2u\left(b+ca-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Sin} .2u\left(b+{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2c\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c3f562b4180da4ddf471e0b34a3a356d0325f7)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Cos} .2u(ca+b-a){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .2u(b+a){\frac {\varpi }{c}}}{c\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808861f4d11de416a4cbb21966b6a1311271c0e4)
Il faudra faire successivement
et ajouter au résultat le premier terme de la série (4) qui est
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x={\frac {c(c-1)}{2c}}={\frac {c-1}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83daded7bd923f4f4e46896f3d36c154d00b5aaa)
Puisque
et
sont premiers entre eux, et que
est plus petit que
il s’ensuit que le dénominateur
du second