![{\displaystyle R^{2}(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)=x^{2}y^{2}z^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88892606e9eccd91b0971c2eaa30e648aedeaf6e)
(1)
Cela posé, 1.o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par
la raison donnée de cette progression, on aura
![{\displaystyle x=y-d,\qquad z=y+d\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6e38182a5fc563212a98407f469cc46f98d6e2)
ce qui donnera, en substituant et réduisant,
![{\displaystyle 3R^{2}\left(y^{2}-4d^{2}\right)=\left(y^{2}-d^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909cb367693721e1ff2fde1ec2534c8d438e85a5)
ou bien
![{\displaystyle y^{4}-\left(2d^{2}+3R^{2}\right)y^{2}+d^{2}\left(d^{2}+12R^{2}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc1ebf62ed3a17e5d161fc9067778b6107770d2)
d’où l’on voit que, si le problème est possible, il admettra deux solutions. On tire de là
![{\displaystyle y={\sqrt {\frac {2d^{2}+3R^{2}\pm 3R{\sqrt {R^{2}-4d^{2}}}}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eed88b75728a394e290dcd2a9a60a279afa910e)
de sorte que le problème ne sera possible qu’autant que la raison
n’excédera pas la moitié du rayon du cercle donné.
Le côté
étant déterminé par cette formule facile à construire, on en conclura
et
et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.
2.o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens, en désignant par
la raison donnée de cette progression, on aura
![{\displaystyle x={\frac {y}{q}},\qquad z=qy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca2faee5aac8bda06d34faa288bf3ec08d30cd2)
ce qui donnera, en substituant dans l’équation (1) et réduisant