![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{x}}=\left\{{\begin{aligned}&\left\{1-{\frac {1}{mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}.{\frac {2mn-1}{3mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{3}-\ldots \right\}\\\\\times &\left\{1+{\frac {1}{mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}.{\frac {2mn+1}{3mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{3}+\ldots \right\}\\\\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd1ed194bdfabb17ca5e277e0f182ebad514061)
Si l’on prend pour
un nombre pair, les deux séries dont le produit compose le développement de
seront constamment convergentes, quelque valeur entière ou fractionnaire, positive ou négative qu’on donne à
On a aussi.
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .z-\operatorname {Log} .(1-z)\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15de2877b4fe3f93c9761db0ad5ddcb9963af638)
(2)
mais on sait que
![{\displaystyle \operatorname {Log} .z=-(1-z)-{\frac {1}{2}}(1-z)^{2}-{\frac {1}{3}}(1-z)^{3}-{\frac {1}{4}}(1-z)^{4}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7f5eaa797045380b6b4c9dfb7184cae6f47883)
![{\displaystyle -\operatorname {Log} .(1-z)=z+{\frac {1}{2}}z^{2}\qquad +{\frac {1}{3}}z^{3}\qquad +{\frac {1}{4}}z^{4}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657f3c44f0a4788f7bc015ec995ccaab288ed9c9)
substituant dans (2), et remettant ensuite pour
sa valeur en
on aura, quel que soit ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{{\frac {x^{n}-1}{x^{n}+1}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {x^{2n}-1}{(x^{n}+1)^{2}}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {x^{3n}-1}{(x^{n}+1)^{3}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {x^{4n}-1}{(x^{n}+1)^{4}}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b10f0af5af2e6e5cc9aa856bd9a87b13968a4d)
série qui, lorsqu’on prendra pour
un nombre pair, aura le même avantage que le développement ci-dessus.
Si, en particulier, on y fait
on retombera sur le développement déjà obtenu (tom. XIV, pag. 279).