pendiculaire sur
en
à partir de
je fais mouvoir perpendiculairement à
en allant vers
une droite qui, d’après le précédent lemme, fera constamment avec
et
des angles de plus en plus grands. Soit
une de ses positions, coupant
en
Si
on aura
pour la somme des angles du triangle
car, soit
cette somme, on a
et
d’où
équation qui donne
quand on fait
Or les sommes d’angles des triangles
entre
et
peuvent devenir assez grandes pour admettre l’hypothèse d’un triangle intermédiaire ayant la somme de ses angles égale à
En effet, comme on l’a prouvé, la limite des accroissemens de sommes d’angles pour
est
ou
désignant toujours l’angle droit ; donc, la limite des accroissemens de
sera
ou
quantité toujours plus grande que
puisque
est supposé
Cela étant, je prend sur
une longueur
je joins
et le triangle
aura
pour sommes d’angles ; attendu qu’il a même, somme d’angles que le triangle
Je joins
Alors, désignant par
les sommes d’angles respectives des triangles
et
j’aurai visiblement
![{\displaystyle S+(2D-\delta )+(2D-\delta ')-2D-2D=S\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5f76d201c3df380144994d6b465cfef2479b59)
d’où résulte
ou bien
parce que
et
sont essentiellement de mêmes signes. Donc j’aurai deux triangles
qui ont l’un et l’autre une somme d’angles égale à
Or, on sait qu’il suffit d’avoir un seul triangle de cette espèce pour démontrer complètement le théorème pythagoricien.