![{\displaystyle \mathrm {S=0,\qquad S} '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0e22709fc42c840aa5f6fc83d190dea623e84b)
![{\displaystyle (a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30786eb5c9c7f12b2ab6d383d81fb3522a29b197)
![{\displaystyle m^{2}\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}+n^{2}\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb38f98c79058361a68145b9ed5e18f79ebef291)
![{\displaystyle m^{2}\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}+n^{2}\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9327edf9e6ee8e494cb8849e191a06d05fc61b07)
![{\displaystyle m^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}=n^{2}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef921629ca6553e340275dadc46cc3cc904f9ed)
2.o Si l’on demandait à quelle surface des rayons incidens doivent être normaux pour qu’après s’être réfractés ou réfléchis à la rencontre d’une surface donnée, ils devinssent normaux à une autre surface donnée ; on éliminerait d’abord
entre les trois dernières équations et l’équation donnée de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés ou réfléchis ; éliminant ensuite
entre l’équation résultante, l’équation
et les deux équations
![{\displaystyle (a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30786eb5c9c7f12b2ab6d383d81fb3522a29b197)
l’équation qu’on obtiendrait en
serait l’équation différentielle de la trajectoire orthogonale des rayons incidens.
3.o Si enfin on demandait à la rencontre de quelle surface des rayons de lumière normaux à une surface donnée doivent se réfracter ou se réfléchir, pour devenir, après leur réfraction ou leur réflexion, normaux à une autre surface donnée ; on éliminerait d’abord, comme ci-dessus,
entre l’équation donnée de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés ou réfléchis. Éliminant ensuite
entre l’équation résultante, l’équation
et les deux équations
![{\displaystyle (a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30786eb5c9c7f12b2ab6d383d81fb3522a29b197)