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des fonctions de grands nombres. Il est aisé de s’assurer que la seconde partie, qui répond à $y=1,$ ne donnerait en la développant suivant les puissances et produits de puissances de $t$ et $\theta ,$ que des termes dans lesquels la somme des exposans de ces variables surpasseraient $x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+\ldots +10x_{10}\,;$ en sorte que nous devons en faire abstraction dans la question présente ; donc, à cause de $Y_{0}=1,$ nous aurons simplement

$\int Y\operatorname {d} y=V_{0}\left\{1+{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right\}.$

Nous aurons aussi

$V={\frac {1}{{\frac {x_{1}z_{1}}{1-yz_{1}}}+{\frac {x_{2}z_{2}}{1-yz_{2}}}+{\frac {x_{3}z_{3}}{1-yz_{3}}}+\ldots {\frac {x_{10}z_{10}}{1-yz_{10}}}}}\,;$

Si donc nous développons le dénominateur de cette expression suivant les puissances de $y,$ et que, $m$ étant un nombre quelconque, nous fassions

$x_{1}z_{1}^{m}+x_{2}z_{2}^{m}+x_{3}z_{3}^{m}+\ldots x_{10}z_{10}^{m}=Z_{m},$

il en résultera

$V={\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}y+Z_{3}y^{2}+Z_{4}y^{3}+\ldots }}\,;$

et, en substituant cette valeur dans celle de $\int Y\operatorname {d} y,$ on trouvera

$\int Y\operatorname {d} y={\frac {1}{Z_{1}}}-{\frac {Z_{2}}{Z_{1}^{3}}}+{\frac {3Z_{2}^{2}-2Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}^{5}}}-{\frac {15Z_{2}^{3}-20Z_{1}Z_{2}Z_{3}+6Z_{1}^{2}Z_{4}}{Z_{1}^{7}}}+\ldots$

À cause du nombre et de la grandeur des quantités $x_{1},x_{2},$