![{\displaystyle {\frac {n!(s-n-n')!}{(s-n)!}}.{\frac {(x_{1}-a_{1})!}{b_{1}!(x_{1}-a_{1}-b_{1})!}}.{\frac {(x_{2}-a_{2})!}{b_{2}!(x_{2}-a_{2}-b_{2})!}}.\ldots {\frac {(x_{i}-a_{i})!}{b_{i}!(x_{i}-a_{i}-b_{i})!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3063567b6d9f9ab436380e9868aeb08507103d5b)
en désignant respectivement par
et
les nombres de numéros qui composent le premier et le second tirages, c’est-à-dire, en faisant
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots a_{i}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc547818eb8bc46458b404691d254d459ce51d4)
![{\displaystyle b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots b_{i}=n'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63e1f02a44c95a45f6c676be1ed5cd65316638)
La probabilité de la succession de ces deux événemens l’un à l’autre sera le produit des deux probabilités qui leur correspondent, lequel produit pourra s’écrire ainsi
![{\displaystyle {\frac {(n+n')!(s-n-n')!}{s!}}.{\frac {n!n'!}{(n+n')!}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066a84c66d887d82595c4a4fb79e935d5409d722)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}!}{a_{1}!b_{1}!(x_{1}-a_{1}-b_{1})!}}.{\frac {x_{2}!}{a_{2}!b_{2}!(x_{2}-a_{2}-b_{2})!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{a_{i}!b_{i}!(x_{i}-a_{i}-b_{i})!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6b3b9685dec65b38f289f218557cfb29bdf252)
or, en intégrant depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
nous avons
![{\displaystyle {\frac {(n+n')!(s-n-n')!}{s!}}.(s+1)=\int (1-y)^{s-n-n'}y^{n+n'}\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df30206a752bb7768010be965daff7c0b448faa8)
![{\displaystyle {\frac {n!n'!}{(n+n')!}}=(n+n'+1)\int (1-z)^{n'}z^{n}\operatorname {d} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e088526b306ca70872795ed87ffd27a7b285ca37)
de plus en faisant
après la différentiation, nous avons aussi
![{\displaystyle n+n'+1={\frac {\operatorname {d} .\alpha ^{n+n'+1}}{\operatorname {d} \alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bc036d2ef61cff7a19d02522657a7f589dd494)
ce qui change la dernière équation en celle-ci