et par conséquent, la probabilité
sera aussi le coefficient de
dans le développement de
![{\displaystyle (s+1)\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\left(1-y+yt^{3}\right)^{x_{3}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9680ef5a12fd08c6f8a67925ee5c9c74167c2a)
l’intégrale étant prise, comme précédemment, depuis
jusqu’à ![{\displaystyle y=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef7c33df0c4a9c6b609f8a1f2502d74e003f5f)
3. Pour résoudre le même problème par le moyen des équations aux différences finies, j’observe que la probabilité demandée est une fonction du nombre
et des nombres
et je la désigne par
Après le premier tirage, cette fonction deviendra l’une des quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{x-1,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{x-2,x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{x-3,x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&Z_{x-i,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94596213eaaf3468378b8cbfcbeb790f5fb940ad)
suivant que la boule sortie portera quelqu’un des numéros
respectivement. Les probabilités de ces événemens sont d’ailleurs respectivement
![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{s}},{\frac {x_{2}}{s}},{\frac {x_{3}}{s}},\ldots {\frac {x_{i}}{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc00108c2b0220e988839e3b6308d6868ec331c0)
or, il est évident que la probabilité avant le premier tirage est