faudra la déterminer de manière à satisfaire non seulement aux conditions que nous avons indiquées, en traitant du maximum et du minimum de
mais encore aux conditions
et c’est à quoi serviront les constantes
Il était nécessaire de les introduire, pour n’avoir pas moins de quantités à déterminer que de conditions à remplir. Du reste, nous aurons ici autant de conditions qu’il en faudra pour en assigner les valeurs.
Soit, par exemple, à trouver, parmi toutes les courbes isopérimètres, celle qui à la plus grande aire.
On a, en général, pour la courbe de plus grande aire.
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24169fdee74705523436f233910b45bd366bb92a)
Si
est la longueur donnée, on aura, en outre
![{\displaystyle \int \operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=l\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68089b3c3c86cffd622b7c33e2dbb3e2e32e272)
nous poserons donc
![{\displaystyle \delta \int \left(y+c{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\operatorname {d} x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91618afe7f170eef7d32d0e44c075cb8fc591f5a)
nous aurons ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=y+c{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=1,\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {cp}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b73d3fefb046aa6c6bad6da80f43da104c8fc8d)
et tous les coefficiens ultérieurs seront nuls. L’équation (D) qui est celle qui convient au cas actuel, et qui se réduit à
![{\displaystyle V=pP+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7a2e8112c7fe906253b8966e4dae53ff2bf360)
deviendra, en substituant