![{\displaystyle V=pP+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52227915e198ff40dce410efcc4a997af4dc6c90)
et qui devient, par les substitutions,
![{\displaystyle y{\sqrt {1+p^{2}}}={\frac {p^{2}y}{\sqrt {1+p^{2}}}}+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a84c614179b1143f2710f17d4298e8363520e5a)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {y}{\sqrt {1+p^{2}}}}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef2f86b3cfb48204e90c27a4b51947662cf25d1)
d’où on tire
![{\displaystyle p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {c}{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cbc5fced914b0d764b0743ea0c3e1306853ac2)
et par suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{c}}={\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe271a3e8bf2133314d2ec29d255974793f06a2)
ce qui donne, en intégrant
![{\displaystyle {\frac {x}{c}}=\operatorname {Log} .\left(y+{\sqrt {y^{2}-c^{2}}}+c'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8847d152e118583e28766f0632c8f6da1e49ccb)
Il resterait à déterminer
et
par la condition que la courbe passe par les deux points donnés ; mais leur détermination ne peut avoir lieu, parce qu’elle entraînerait la résolution d’une équation exponentielle.
Toutefois, on peut reconnaître quelle est la nature de cette courbe. En effet, il est visible que
ne saurait être moindre que
de manière que
est l’ordonnée minimum. Si donc nous prenons cette ordonnée pour axe des
il faudra qu’en posant
on trouve
d’où
donc