![{\displaystyle V=q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)+r\left(R-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22262923fa81d4da2de1f429476fdb40b8c3e2e4)
![{\displaystyle +s(S-\ldots )+\ldots +Cp+C'\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc31557467f146c402225f159640cb24fda3d6c5)
(E)
équation qui ne s’élève qu’à l’ordre
seulement, et qu’on pourrait abaisser encore si
était nul.
§. V. Applications diverses.
Soit proposé d’assigner la courbe, joignant deux points donnés, dont la révolution autour de l’axe des
engendre une surface minimum ?
La surface de révolution considérée comme indéfinie, étant exprimée par
il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \delta \int y\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a90e05ae2814dd0b76c18fdbb157944e1640a00)
on a donc ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=y{\sqrt {1+p^{2}}},\\M&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\N&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}={\sqrt {1+p^{2}}},\\\\P&={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} p}}={\frac {py}{\sqrt {1+p^{2}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8411f53883cb8310e1d8986138285af6912855cc)
et les quantités
sont toutes nulles. Puis donc que
n’entre pas dans
on peut faire usage de l’équation (D), qui est simplement ici